測量誤差的統(tǒng)計特性

1.測量值點列圖

在相同測量條件下，對某鋼球工件的直徑測量150次，得到一個測量樣本（x1，x2，……，x150 )，以測量序數(shù)i為橫坐標，以測得值xi或其誤差為縱坐標，畫出測量值點列圖（measurement point plot),如圖2 - 1所示。由該測量值點列圖可見，xi出現(xiàn)后，不能預見xi+1出現(xiàn)的大小和方向，但就樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律而言具 有如下特征：

①數(shù)據(jù)集中在算術平均值7.335附近，如不存在系統(tǒng)誤差，它接近約定真值；

②數(shù)據(jù)分布在7.085?7.585之間，即可確定測量值分布及其誤差分布的大致范圍；

③正負誤差的數(shù)目大致相同；

④誤差的總和大致趨于零。

以上所述的四個統(tǒng)計特征，分別稱之為單峰性、有界性、對稱性和抵償性。這些特征都反映了隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律，其中誤差的抵償性是zui本質的統(tǒng)計特征，它常作為判定誤差是否具有隨機性的標志。

由測量數(shù)據(jù)的測量值點列圖可以粗略看出測量誤差的統(tǒng)計特性，如果利用測量數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計直方圖，就會更形象地看出其概率特征。

2.統(tǒng)計直方圖和概率密度分布圖

將上述測量樣本按數(shù)據(jù)的大小劃分為11組，組距△x= 0.05mm，用每組出現(xiàn)的數(shù)據(jù)個數(shù) (稱為頻數(shù)mi)除以樣本數(shù)n，得頻率，再除以組距△x，得頻率密度。表2-1中列出了子區(qū)間的中心值xi及其頻數(shù)mi和頻率fi。

表2-1 測量鋼球工件直徑的統(tǒng)計數(shù)據(jù)

根據(jù)表2 - 1中數(shù)據(jù)，可按下列步驟作出統(tǒng)計直方圖（statistical histogram)，如圖2-2所示：

①以xi為橫坐標，為縱坐標，建立坐標系。

②在橫坐標上劃出等分的子區(qū)間。本例的子區(qū)間數(shù)目為11，各子區(qū)間的中心值為xi，各子區(qū)間的間距△x = 0.05 mm。

③劃出各子區(qū)間的直方柱。如觀測值落入2號子區(qū)間（7. 11mm，7. 16mm)的頻數(shù)為7， 頻率為 7/150=4. 67%。

④把各直方柱頂部中點用直線連接起來，便得到一條由許多折線連接起來的曲線。當測量樣本數(shù)n無限增加，分組間隔△x趨于零時，圖2-2中直方圖折線就變成一條光滑的曲線，即測量總體的概率(分布)密度曲線，記為f(x)。這就是用實驗方法由樣本數(shù)據(jù)得到的概率密度分巧圖（probability density distribution plot)。

概率密度曲線f(x)完好地描述了該測量(值)總體分布及其誤差分布的統(tǒng)計規(guī)律„由概率論易知，f(x)具有下列兩個性質：

式中：a≤x≤b—置信區(qū)間；

P(a≤x≤b)—x出現(xiàn)在[a，b]內(nèi)的概率，也稱為置信概率(或置信水平），簡記為符號P; a——顯著性水平（又稱顯著度或危險率）。

上述各量的幾何意義如圖2 - 3所示。

對于不同的被測量，其概率密度分布函數(shù)的形式可能是不同的。在測量不確定度評定中， 經(jīng)常提到的分布有兩點分布、反正弦分布、矩形分布、三角分布、梯形分布、正態(tài)分布以及投影分布等。上述對測量總體及其分布的實驗統(tǒng)計方法，在實際工作中經(jīng)常使用。在對精密儀器 的誤差分析與計量檢定工作中，為了使實驗統(tǒng)計方法具有足夠的可靠程度，在繪制統(tǒng)計直方圖時應注意以下問題。

(1) 樣本大小

樣本大小即重復測量次數(shù)n。顯然n越大，樣本呈現(xiàn)的分布規(guī)律越穩(wěn)定。但n太大，不僅資源浪費過大，而且難以保證多次測量都滿足相同的測量條件。實踐表明，在僅要確定誤差的分布范圍時，可取n=50?200;若要確定誤差分布規(guī)律時，則可取n=200~1000

(2)子區(qū)間的間距△x

子區(qū)間間距的下限應大于儀器分辨力，并使子區(qū)間有適當?shù)臄?shù)目。子區(qū)間數(shù)目隨n的增大而增加，一般，子區(qū)間個數(shù)的選取方法大致如下：

•當n = 50?100時，子區(qū)間的個數(shù)是6?10;

•當n = 100?200時，子區(qū)間的個數(shù)是9?12;

•當n = 200?500時，子區(qū)間的個數(shù)是12?17;

•當n>500時，子區(qū)間的個數(shù)是20。

也可利用下列兩個公式之一來計算分組數(shù)m或間距△x，即