儀器精度分析與設(shè)計(jì)

精度是光電儀器的一項(xiàng)重要技術(shù)指標(biāo)，在一定程度上決定了儀器的用途和價(jià)值。尤其對(duì)于計(jì)量類(lèi)光電儀器，精度是功能指標(biāo)中zui重要的一項(xiàng)。隨著科技的發(fā)展，計(jì)量類(lèi)光電儀器需要達(dá)到的精度指標(biāo)越來(lái)越高，以半導(dǎo)體工業(yè)為例，目前個(gè)人計(jì)算機(jī)CPU線寬已達(dá)32nm，這就要求半導(dǎo)體的光刻設(shè)備和測(cè)量?jī)x器本身的精度至少達(dá)到納米量級(jí)。毫不夸張地說(shuō)，儀器測(cè)量精度的提高是制造技術(shù)發(fā)展的前提。

為了設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)這樣高精度的光電儀器，首先要對(duì)現(xiàn)有儀器進(jìn)行精度分析，找出誤差產(chǎn)生的根源和規(guī)律，分析誤差對(duì)儀器設(shè)備精度的影響，評(píng)價(jià)該儀器的精度。精度分析一方面是確定已有儀器指標(biāo)*的步驟，另一方面也有助于提出改進(jìn)措施，進(jìn)一步優(yōu)化儀器設(shè)計(jì)，提高精度指標(biāo)。

對(duì)于新儀器設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，精度設(shè)計(jì)或者精度分配更是重要的內(nèi)容。精度分配是在精度分析的基礎(chǔ)上，針對(duì)系統(tǒng)總精度指標(biāo)，對(duì)各個(gè)子單元的精度進(jìn)行分配，遵循一定的設(shè)計(jì)原則選擇合理的儀器方案，完成元件選型，設(shè)計(jì)正確的補(bǔ)償方式，在保證經(jīng)濟(jì)性的基礎(chǔ)上達(dá)到高的精度。

本章主要從精度分析和精度設(shè)計(jì)兩方面闡述儀器精度理論與方法，主要內(nèi)容包括：各項(xiàng)誤差的來(lái)源與特性，誤差的評(píng)定和估計(jì)方法，誤差的傳遞、轉(zhuǎn)化和合成的規(guī)律；誤差分配的原則和方法，提高儀器精度的設(shè)計(jì)原則，誤差補(bǔ)償?shù)乃悸泛头椒ǖ?。由于儀器精度分析和設(shè)計(jì)都是實(shí)用性很強(qiáng)的理論方法，因此本章結(jié)合若干光電儀器的實(shí)例，對(duì)其理論方法進(jìn)行具體說(shuō)明，便于讀者理解和掌握。

▲儀器的誤差與精度

一、誤差的基本概念

1.誤差的定義

測(cè)量誤差△i是指測(cè)得值xi與標(biāo)稱(chēng)值（或真值）x0之間的差。即

式中，i為測(cè)量次數(shù)。

誤差的大小反映了測(cè)量值對(duì)于標(biāo)稱(chēng)值的偏離程度。誤差是客觀存在的，無(wú)論測(cè)量手段精度多高，誤差都不會(huì)為零。多次重復(fù)測(cè)量某物理量時(shí)，各次測(cè)定值并不相同，這是誤差不確定性的表現(xiàn)。真實(shí)的誤差值是未知的，因?yàn)橥ǔＵ嬷凳俏粗?。為了能正確表達(dá)誤差，人們根據(jù)對(duì)誤差認(rèn)知的準(zhǔn)確度和可信度的要求，確定了以下方法來(lái)獲得真值：

1)理論真值（即名義值）：設(shè)計(jì)時(shí)給定的或是用數(shù)學(xué)、物理公式計(jì)算的理論值，例如零件的名義尺寸等。

2)約定真值：世界各國(guó)*的一些幾何量和物理量的zui高基準(zhǔn)的量值，如作為長(zhǎng)度基準(zhǔn)的單位米，其定義為光在真空中1/299792458s時(shí)間間隔內(nèi)所經(jīng)路徑的長(zhǎng)度。

3)相對(duì)真值：當(dāng)器與準(zhǔn)確度高一個(gè)等級(jí)的儀器比較時(shí)，可將該準(zhǔn)確度高一個(gè)等級(jí)的儀器標(biāo)的測(cè)量值視為“真值”，或稱(chēng)其為相對(duì)真值或標(biāo)準(zhǔn)值。

2.誤差的表示方法

誤差可以用誤差和相對(duì)誤差兩種方式表達(dá)。誤差是指測(cè)得值x與被測(cè)量真值x0之差。誤差具有量綱，能反映出誤差的大小和方向，但不能反映出測(cè)量的精細(xì)程度。誤差△可表示為

誤差與被測(cè)量真值的比值稱(chēng)為相對(duì)誤差。相對(duì)誤差無(wú)量綱，但它能反映測(cè)量工作的精細(xì)程度。相對(duì)誤差δ可以表示為

3.誤差分類(lèi)

按照誤差的數(shù)學(xué)特征可以分為：

1)系統(tǒng)誤差（SystematicError):系統(tǒng)誤差的大小和方向在測(cè)量過(guò)程中恒定不變，或按一定的規(guī)律變化。一般來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)誤差是可以用理論計(jì)算或?qū)嶒?yàn)方法求得，可預(yù)測(cè)它的出現(xiàn)，并可以進(jìn)行調(diào)節(jié)和修正的。

2)隨機(jī)誤差(RandomError)：隨機(jī)誤差是由一些獨(dú)立因素的微量變化綜合影響造成的。其數(shù)值的大小和方向往往沒(méi)有確定性規(guī)律，不可預(yù)見(jiàn)，但就其總體來(lái)說(shuō)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。常見(jiàn)的大多數(shù)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。

3)粗大誤差（Gross Error):粗大誤差指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期的誤差。其產(chǎn)生的原因主要是由于某些突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。由于該誤差的數(shù)值一般較大，所以按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，就可以將含有粗大誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)剔除。

按照被測(cè)參數(shù)的時(shí)間特性，誤差可以分為：

1)靜態(tài)參數(shù)誤差：不隨時(shí)間變化或隨時(shí)間緩慢變化的被測(cè)參數(shù)稱(chēng)為靜態(tài)參數(shù)，測(cè)定靜態(tài)參數(shù)所產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為靜態(tài)參數(shù)誤差。

2)動(dòng)態(tài)參數(shù)誤差：被測(cè)參數(shù)是時(shí)間的函數(shù)，這樣的參數(shù)稱(chēng)為動(dòng)態(tài)參數(shù)。測(cè)定動(dòng)態(tài)參數(shù)所產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為動(dòng)態(tài)參數(shù)誤差。

按照誤差間的關(guān)系可分為：

1)獨(dú)立誤差：彼此相互獨(dú)立、互不相關(guān)、互不影響昀誤差稱(chēng)為獨(dú)立誤差。

2)非獨(dú)立誤差（或相關(guān)誤差）：一種誤差的出現(xiàn)與其他的誤差相關(guān)聯(lián)，這種彼此相關(guān)聯(lián)的誤差稱(chēng)為非獨(dú)立誤差。在進(jìn)行誤差間的關(guān)聯(lián)計(jì)算時(shí)，其相關(guān)系數(shù)不為零。

4.多次重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)的處理

利用儀器進(jìn)行物理量的測(cè)量時(shí)，多次測(cè)量的結(jié)果往往不一致，這就是因?yàn)槊看螠y(cè)量的數(shù)據(jù)中都含有誤差的緣故。在滿(mǎn)足正態(tài)分布的重復(fù)測(cè)量條件下，假設(shè)進(jìn)行了n次測(cè)量，其結(jié)果分別為xi（i=1，2，…，n)為了合理表示該重復(fù)測(cè)量的結(jié)果，通常按以下步驟進(jìn)行：

1)算術(shù)平均值:即所有測(cè)量值的算術(shù)平均值，常用來(lái)作為該多次測(cè)量的*估計(jì)。 算術(shù)平均值表示為

2)殘佘誤差:-每個(gè)測(cè)量值與算術(shù)平均值的差值，反映當(dāng)次測(cè)量與平均結(jié)果的偏差。

3)單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差σ:反映多次測(cè)量結(jié)果的分散程度，用來(lái)衡量隨機(jī)誤差的大小。 單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差σ表示為

得到單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差之后，對(duì)測(cè)量中出現(xiàn)的粗大誤差可以按統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則判斷并剔除其中該含有粗大誤差的異常數(shù)據(jù)。例如，在大樣本測(cè)量的基礎(chǔ)上，如果隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布， 殘余誤差分布在± 3σ以外的概率僅為0.3%，就可依據(jù)3σ準(zhǔn)則對(duì)粗大誤差進(jìn)行剔除。當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為該次測(cè)量xi出現(xiàn)粗大誤差，擬從測(cè)量結(jié)果中舍去該次測(cè)量的數(shù)據(jù)。不過(guò)這一準(zhǔn)則是基于樣本數(shù)大于50的正態(tài)樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推理的結(jié)果，在測(cè)量次數(shù)小于10時(shí)，按式（3-5)，可以得知，一個(gè)異常數(shù)據(jù)無(wú)論如何遠(yuǎn)離其他（n-1)個(gè)數(shù)據(jù)，都不會(huì)出現(xiàn)。對(duì)于通常樣本數(shù)小于10的情形，可按誤差理論介紹的諸如格拉布斯準(zhǔn)則和狄克遜準(zhǔn)則來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判斷。

剔除粗大誤差后按照式(3-5)重新計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差σ，得到合理的單次測(cè)量均方誤差。

4)算術(shù)平均值的均方誤差σp:得到剔除粗大誤差后的單次測(cè)量均方誤差后，再進(jìn)行m次測(cè)量，取算術(shù)平均值，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差將減小至原來(lái)的。這反映的是，多次測(cè)量可以減小測(cè)量結(jié)果包含的隨機(jī)誤差。需要注意的是，系統(tǒng)誤差并不能通過(guò)多次測(cè)量消除。算術(shù)平均值的均方誤差σp表示為

5)重復(fù)測(cè)量結(jié)果的極限誤差△max:根據(jù)誤差分布接近正態(tài)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，按高的置信概率，測(cè)量結(jié)果的極限誤差△max常取為

6)重復(fù)測(cè)量的結(jié)果:由兩部分組成，算術(shù)平均值可視為該測(cè)量結(jié)果接近真值的一種*估計(jì)，極限誤差則反映了該測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差大小。